** Pièces pour l'industrie automobile

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une usine fabrique des pièces métalliques pour l’industrie automobile. Chaque pièce peut présenter deux types de défauts : un défaut de forme ou un défaut de couleur. Une pièce métallique est dite conforme lorsqu’elle ne présente aucun de ces deux défauts.

On prélève un échantillon de \(250\) pièces métalliques dans le stock parmi lesquelles :

• \(6\; \%\) des pièces présentent un défaut de forme ;
  
• \(20\) pièces présentent un défaut de couleur dont la moitié présente aussi un défaut de forme.

1. Recopier et compléter, sans justification, le tableau croisé d’effectifs ci-dessous.

2. On prélève au hasard une pièce dans l’échantillon. On suppose que toutes les pièces ont la même probabilité d’être choisie et on considère les événements :

• \(\text{F}\) : « la pièce présente un défaut de forme » ;
  
• \(\text{C}\) : « la pièce présente un défaut de couleur ».
  

    a. Calculer la probabilité que la pièce soit conforme.
    b. Calculer la probabilité que la pièce présente à la fois un défaut de couleur et un défaut de forme.

3. Le coût de fabrication d’une pièce métallique est de \(180\) €. Afin de ne pas mettre au rebut les pièces non conformes, il est possible de les réparer selon les tarifs ci-dessous :

• \(30\) € pour réparer une pièce présentant le seul défaut de couleur ;
  
• \(50\) € pour réparer une pièce présentant le seul défaut de forme ;
  
• \(70\) € pour réparer une pièce présentant les deux défauts.
  

On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque pièce métallique prélevée, associe le coût de fabrication d'une pièce métallique, avec les éventuelles réparations.
    a. Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de \(X\). La ligne \(x_i\) est celle des valeurs prises par \(X\).
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline x_i&180&210&230&250 \\ \hline P(X=x_i)&\qquad&\qquad&\qquad&\qquad\\ \hline \end{array}\end{align*}\)
    b. En déduire le coût moyen de fabrication d’une pièce métallique.